Definisi :
Dalam matematika istilah kuantor ada dalam logika matematika. Ada 2 macam kuantor, yaitu kuantor universal : untuk semua ( for all ), biasa di simbolkan dengan hurup A terbalik (Lancipnya di bawah). Dan satunya kuantor eksistensial : ada (exist), terdapat (there), biaasanya di simbolkan dengan hurup E yang menghadapnya terbalik.
Misalkan P(x) adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.
Pernyataan “ untuk setiap x, P(x) dikatakan sebagai pernyatan kuantor universal dan secara simbolik ditulis sbb : ∀ x, P(x). symbol “∀” disebut kuantor universal.
Pernyataan “untuk beberapa x, P(x) “dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbolik ditulis sbb: ∃ x, P(x). symbol “∃” di sebut kuantor eksistensial.
Pernyataan” untuk setiap x, P(x) bernilai benar jika terdapat sekurang – kurangnya satu x ∈ D sehingga P(x) benilai benar. Jadi ntuk mengevaluasi sebuah proposisi dalam bentuk simbolik dsn memuat predikat, kita harusmenetapkan daaerah asal dari setiap variabelnya dan memberikan interpretasi terhadap fungsi dan predikat yang ada di dalamnya.
Contoh 1 : TUlislah proposesi berikut secara simbolik:
“untuk setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi dengan 6 juga habis dibagi dengan 3”
Jawaban :
Misalkan : Predikat “x habis dibagi dengan y” secar simbolik ditulis sebagai P(x,y). maka predikat “x habis di bagi 6 juga habis di bagi 3" secara simbolik dapat ditulis sbb:
Jika P(x,6) maka P(x,3) jadi proposisi yang secara simbolik dapat ditulis sbb:
∀ x, jika P(x,6), maka P(x,3) dengan daerah asal himpunan bilangan bulat positif.
Contoh 2 : Evaluasilah apakah proposisi berikut benar atau salah :
∀ x∃y, Q (x,y) dengan Q (x,y) mempunyai interpretasi 2x=y mempunyai daerah asal himpunan bilangan ganjil.
Jawaban :
Prorposisi tersebut dapat dikatakan sbb: untuk setiap bilangan ganjil x dapat ditemukan bilangan ganjil y sehingga 2x=y. karena untuk setiap x bilangan ganjil 2x bilangan genap, maka bilangan y adalah genap ( dengan kata lain bilangan ganjil y tak pernah di temukan. Jadi proposisi yang ditanyakan bernilai salah.
Sifat negasi/ekuivalen kuantor:
Kuantor Universal : ∀ x, P(x) ∃x, P(x)
Kuantor Eksistensial : ∃x, P(x) : ∀ x, P(x)
Contoh : tentukan negasi dari formula yang memuat kuantor berikut :
∀ x∃y, { P (x) Λ Q (y) }
∃x∀ y, { Q (x) R (y) }
Jawaban :
∀ x∃y, { P (x) Λ Q (y) } ∃x, { ∃y, ( P (x) Λ Q (y) ) }
∃x∀ y, { P (x) Λ Q (y) }
∃x∀ y, { P (x) V Q (y) }
∃x∀ y, { Q (x) R (y) } ∀ x, { ∀ y, ( Q(x) R(y) ) }
∀ x∃y, { Q (x) R (y) }
∀ x∃y, { R (y) Q (x) }
Terjemahan Kuantor ke Dalam Bahasa Indonesia
Langkah – langkahnya :
Tuliskan makna daari setiap kuantor.
Sajikan makna ini dalam kalimat sederhana (mudah dimengerti )
Contoh : misalkan x, y variable untuk mahasiswa di kampus ini. C(x) : x mempunyai computer, F(x,y) : x dan y berteman. Nyatakan kedalam Bahasa Indonesia kuantor berikut :
∀ x { C(x) V ∃y ( C(y) Λ F(x,y) ) }
Penyelesainya : setiap mahasiswa x di kampus ini memiliki computer, atau ada mahasiswa lainnya y, dimana x dan y berteman.
Terjemahan Bahasa Indonesia Kedalam symbol Kuantor
Contoh : Sajikan kalimat berikut ke dalam bentuk kuantor.
Beberapa mahasiswa dalam kelas ini pernah datang ke Jakarta.
Setiap mahasiswa dalam ini pernah datang ke Surabaya atau Jakarta.
Penyelesaiannya : Misalkan J(x) : x pernah datang ke Jakarta, S(x) : pernah datang ke Surabaya. Maka kalimat di atas dapat disajikan dalam kuantor berikut :
∃x, P(X)
∀ x { J(x) V S(x) }
Negasi Kuantor
Di perhatikan kalimat : “setiap mahasiswea di kelas ini sudah mengambil kalkulus”. Pernyataan ini dapat di tulis dalam symbol : ∀ x, P(x) dimana P(x) : x sudah mengambil kalkulus. Negasi dari pernyataan ini dapat diungkapkan sebagai berikut :
“tidaklah benar bahwa setiap mahasiswa di kelas ini sudah mengambil kalkulus”. Ini berarti “ada mahasiswa yang belum (tidak) mengambil kalkulus”, ditulis ∃x,¬P(x) “ ada x yang tidak ada bersifat P(x)”.
∀ x, ¬P(x)
∃x, P(X)
∃x, ¬P(x)
∀ x, P(x)
Nilai Kebenaran Kuantor
P(x) bernilai salah untuk setiap x di dalam semesta pembicaraan ada x di dalam semesta ( minimal satu ) sehingga P(x) bernilai benar x, P(x).
Ada x di dalam semesta sehingga P(x) bernilai salah. P(x) bernilai benar untuk setiap nilai x di dalam semesta pembicaraan x, p(x).
Ciri – Ciri Kuantor Universal :
Sifat P dimiliki oleh setiap X dalam semesta pembicaraannya.
( ∀ x), P(x)
Sesuatu bernilai benar untuk semua individualnya.
Ciri – Ciri Kuantor Eksistensial :
Sifat P dimiliki oleh paling sedikit satu x dalam semesta pembicaraannya.
(∃x), P(X)
Pernyataan :
Jika P adalah menunjukan sifat “ laki – laki “ dan q menunjukan sifat “ wajib militer “,
Maka kalimat tersebut dapat di tulis : ( ∀ x), { P(x) q (x) } dan (∃x) { p(x) Λ~ q(x) }
Contoh :
Setiap laki – laki harus wajib militer
Ada laki – laki yang tidak wajib militer
Ditulis sebagai berikut :
Untuk setiap x, jika x laki – laki maka x harus wajib militer
Terdapat x sehingga x laki-laki dan x tidak wajib militer
Secara umum :
Kuantor universal selalu diikuti dengan bentuk implikasi
Kuantor eksistensial selalu diikuti dengan bentuk konjungsi
Hubungan Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
Jika dua pernyataan tersebut ditulis dengan kuantor dan semesta pembicaraannya adalah semua peserta kuliah logika informatika, maka kalimat utama :
P : ( ∀ x), A(x) ( A adalah sifat mendapatkan nilai A ), dan kedua ( negasi ) : ~p : (∃x) ~ A(x)
Negasi Kuantor
~ [ ( ∀ x) p ( x) ] = ( ∃ x ) ~p ( x )
~ [ ( ∃ x ) p ( x) ] = ( ∀ x ) ~p ( x )
Memunculkan Quantifier duality yaitu kalimat dapat diekspresikan dalam bentuk kalimat lain :
∀ x Likes ( x, Ice cream ) ∃x¬ Likes ( x, Ice cream)
∀ y Mendapat ( y, Nilai A ) ∃y¬ mendapat (y, Nilai A )
∀ x ∀ y sama dengan ∀ y ∀ x
∃x ∃y sama dengan ∃y ∃x
∃x ∀ y sama dengan ∀ y ∃x
∃x ∀ y Loves (x,y) “ there is a person who loves everyones”
∀ y ∃x Loves (x,y) “ Everyone is loved by at least on person “
Rumusan atau Formula yang Melibatkan lebih dari satu variableDefinisi :
Dalam matematika istilah kuantor ada dalam logika matematika. Ada 2 macam kuantor, yaitu kuantor universal : untuk semua ( for all ), biasa di simbolkan dengan hurup A terbalik (Lancipnya di bawah). Dan satunya kuantor eksistensial : ada (exist), terdapat (there), biaasanya di simbolkan dengan hurup E yang menghadapnya terbalik.
Misalkan P(x) adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.
Pernyataan “ untuk setiap x, P(x) dikatakan sebagai pernyatan kuantor universal dan secara simbolik ditulis sbb : ∀ x, P(x). symbol “∀” disebut kuantor universal.
Pernyataan “untuk beberapa x, P(x) “dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbolik ditulis sbb: ∃ x, P(x). symbol “∃” di sebut kuantor eksistensial.
Pernyataan” untuk setiap x, P(x) bernilai benar jika terdapat sekurang – kurangnya satu x ∈ D sehingga P(x) benilai benar. Jadi ntuk mengevaluasi sebuah proposisi dalam bentuk simbolik dsn memuat predikat, kita harusmenetapkan daaerah asal dari setiap variabelnya dan memberikan interpretasi terhadap fungsi dan predikat yang ada di dalamnya.
Contoh 1 : TUlislah proposesi berikut secara simbolik:
“untuk setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi dengan 6 juga habis dibagi dengan 3”
Jawaban :
Misalkan : Predikat “x habis dibagi dengan y” secar simbolik ditulis sebagai P(x,y). maka predikat “x habis di bagi 6 juga habis di bagi 3" secara simbolik dapat ditulis sbb:
Jika P(x,6) maka P(x,3) jadi proposisi yang secara simbolik dapat ditulis sbb:
∀ x, jika P(x,6), maka P(x,3) dengan daerah asal himpunan bilangan bulat positif.
Contoh 2 : Evaluasilah apakah proposisi berikut benar atau salah :
∀ x∃y, Q (x,y) dengan Q (x,y) mempunyai interpretasi 2x=y mempunyai daerah asal himpunan bilangan ganjil.
Jawaban :
Prorposisi tersebut dapat dikatakan sbb: untuk setiap bilangan ganjil x dapat ditemukan bilangan ganjil y sehingga 2x=y. karena untuk setiap x bilangan ganjil 2x bilangan genap, maka bilangan y adalah genap ( dengan kata lain bilangan ganjil y tak pernah di temukan. Jadi proposisi yang ditanyakan bernilai salah.
Sifat negasi/ekuivalen kuantor:
Kuantor Universal : ∀ x, P(x) ∃x, P(x)
Kuantor Eksistensial : ∃x, P(x) : ∀ x, P(x)
Contoh : tentukan negasi dari formula yang memuat kuantor berikut :
∀ x∃y, { P (x) Λ Q (y) }
∃x∀ y, { Q (x) R (y) }
Jawaban :
∀ x∃y, { P (x) Λ Q (y) } ∃x, { ∃y, ( P (x) Λ Q (y) ) }
∃x∀ y, { P (x) Λ Q (y) }
∃x∀ y, { P (x) V Q (y) }
∃x∀ y, { Q (x) R (y) } ∀ x, { ∀ y, ( Q(x) R(y) ) }
∀ x∃y, { Q (x) R (y) }
∀ x∃y, { R (y) Q (x) }
Terjemahan Kuantor ke Dalam Bahasa Indonesia
Langkah – langkahnya :
Tuliskan makna daari setiap kuantor.
Sajikan makna ini dalam kalimat sederhana (mudah dimengerti )
Contoh : misalkan x, y variable untuk mahasiswa di kampus ini. C(x) : x mempunyai computer, F(x,y) : x dan y berteman. Nyatakan kedalam Bahasa Indonesia kuantor berikut :
∀ x { C(x) V ∃y ( C(y) Λ F(x,y) ) }
Penyelesainya : setiap mahasiswa x di kampus ini memiliki computer, atau ada mahasiswa lainnya y, dimana x dan y berteman.
Terjemahan Bahasa Indonesia Kedalam symbol Kuantor
Contoh : Sajikan kalimat berikut ke dalam bentuk kuantor.
Beberapa mahasiswa dalam kelas ini pernah datang ke Jakarta.
Setiap mahasiswa dalam ini pernah datang ke Surabaya atau Jakarta.
Penyelesaiannya : Misalkan J(x) : x pernah datang ke Jakarta, S(x) : pernah datang ke Surabaya. Maka kalimat di atas dapat disajikan dalam kuantor berikut :
∃x, P(X)
∀ x { J(x) V S(x) }
Negasi Kuantor
Di perhatikan kalimat : “setiap mahasiswea di kelas ini sudah mengambil kalkulus”. Pernyataan ini dapat di tulis dalam symbol : ∀ x, P(x) dimana P(x) : x sudah mengambil kalkulus. Negasi dari pernyataan ini dapat diungkapkan sebagai berikut :
“tidaklah benar bahwa setiap mahasiswa di kelas ini sudah mengambil kalkulus”. Ini berarti “ada mahasiswa yang belum (tidak) mengambil kalkulus”, ditulis ∃x,¬P(x) “ ada x yang tidak ada bersifat P(x)”.
∀ x, ¬P(x)
∃x, P(X)
∃x, ¬P(x)
∀ x, P(x)
Nilai Kebenaran Kuantor
P(x) bernilai salah untuk setiap x di dalam semesta pembicaraan ada x di dalam semesta ( minimal satu ) sehingga P(x) bernilai benar x, P(x).
Ada x di dalam semesta sehingga P(x) bernilai salah. P(x) bernilai benar untuk setiap nilai x di dalam semesta pembicaraan x, p(x).
Ciri – Ciri Kuantor Universal :
Sifat P dimiliki oleh setiap X dalam semesta pembicaraannya.
( ∀ x), P(x)
Sesuatu bernilai benar untuk semua individualnya.
Ciri – Ciri Kuantor Eksistensial :
Sifat P dimiliki oleh paling sedikit satu x dalam semesta pembicaraannya.
(∃x), P(X)
Pernyataan :
Jika P adalah menunjukan sifat “ laki – laki “ dan q menunjukan sifat “ wajib militer “,
Maka kalimat tersebut dapat di tulis : ( ∀ x), { P(x) q (x) } dan (∃x) { p(x) Λ~ q(x) }
Contoh :
Setiap laki – laki harus wajib militer
Ada laki – laki yang tidak wajib militer
Ditulis sebagai berikut :
Untuk setiap x, jika x laki – laki maka x harus wajib militer
Terdapat x sehingga x laki-laki dan x tidak wajib militer
Secara umum :
Kuantor universal selalu diikuti dengan bentuk implikasi
Kuantor eksistensial selalu diikuti dengan bentuk konjungsi
Hubungan Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
Jika dua pernyataan tersebut ditulis dengan kuantor dan semesta pembicaraannya adalah semua peserta kuliah logika informatika, maka kalimat utama :
P : ( ∀ x), A(x) ( A adalah sifat mendapatkan nilai A ), dan kedua ( negasi ) : ~p : (∃x) ~ A(x)
Negasi Kuantor
~ [ ( ∀ x) p ( x) ] = ( ∃ x ) ~p ( x )
~ [ ( ∃ x ) p ( x) ] = ( ∀ x ) ~p ( x )
Memunculkan Quantifier duality yaitu kalimat dapat diekspresikan dalam bentuk kalimat lain :
∀ x Likes ( x, Ice cream ) ∃x¬ Likes ( x, Ice cream)
∀ y Mendapat ( y, Nilai A ) ∃y¬ mendapat (y, Nilai A )
∀ x ∀ y sama dengan ∀ y ∀ x
∃x ∃y sama dengan ∃y ∃x
∃x ∀ y sama dengan ∀ y ∃x
∃x ∀ y Loves (x,y) “ there is a person who loves everyones”
∀ y ∃x Loves (x,y) “ Everyone is loved by at least on person “
Rumusan atau Formula yang Melibatkan lebih dari satu variable
Jika suatu predikat menyangkut lebih dari satu objek, misalnya p(x,y), maka perlu dibicarakan suatu pernyataan lebih dari suatu kuantor.
Contoh :
Diketahui : P = (pria) W = (wanita) “x menikah dengan y” = M(x,y), adalah fungsi pernyataan pada p x w.
Diketahui : A = (bilangan asli ) “2x – y – 5z < 10” K (x,y,z) adalah fungsi pernyataan pada A x A x A.
Suatu fungsi pernyataan yang bagian depannya dibubuhi dengan kuantor untuk setiap variabelnya seperti contoh berikut ini : ∀ x ∃y p(x,y) atau ∃x ∃y ∀z p(x,y,z) merupakan suatu pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran.
Kombinasi kuantor yang mungkin untuk predikat p(x,y) adalah :
( ∀ x) (∀ y ) p(x,y) ; ( ∀ x) (∃y) p(x,y) ; (∃x) (∀ y ) p(x,y)
(∃x) (∃y) p(x,y) ; (∀ y ) ( ∀ x) p(x,y) ; (∃y) ( ∀ x) p(x,y)
(∀ y ) (∃x) p(x,y) ; (∃y) (∃x) p(x,y)
Kita dapat mencari ingkarnya :
(∃x) (∀ y ) p(x,y) = ( ∀ x) ~ { (∀ y ) p(x,y) } = ( ∀ x) (∃x) ~ { p(x,y) }
Jika R(x,y) = “x percaya pada y” maka ekspresi dibawah ini berarti :
∀ x { ∃y R(x,y) } = Semua orang memiliki orang yang dipercaya.
∃y { ∀x R(x,y) } = Ada seseorang yang di percayai oleh semua orang termasuk dirinya sendiri.
∃x { ∀y R(x,y) } = Ada sseorang yang mempercayai semua orang.
∀y { ∃x R(x,y) } = Semua orang memiliki seseorang yang mempercayainya.
∀ x { ∀y R(x,y) } = Semua orang mempercayai semua orang termasuk dirinya sendiri.
Jika suatu predikat menyangkut lebih dari satu objek, misalnya p(x,y), maka perlu dibicarakan suatu pernyataan lebih dari suatu kuantor.
Contoh :
Diketahui : P = (pria) W = (wanita) “x menikah dengan y” = M(x,y), adalah fungsi pernyataan pada p x w.
Diketahui : A = (bilangan asli ) “2x – y – 5z < 10” K (x,y,z) adalah fungsi pernyataan pada A x A x A.
Suatu fungsi pernyataan yang bagian depannya dibubuhi dengan kuantor untuk setiap variabelnya seperti contoh berikut ini : ∀ x ∃y p(x,y) atau ∃x ∃y ∀z p(x,y,z) merupakan suatu pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran.
Kombinasi kuantor yang mungkin untuk predikat p(x,y) adalah :
( ∀ x) (∀ y ) p(x,y) ; ( ∀ x) (∃y) p(x,y) ; (∃x) (∀ y ) p(x,y)
(∃x) (∃y) p(x,y) ; (∀ y ) ( ∀ x) p(x,y) ; (∃y) ( ∀ x) p(x,y)
(∀ y ) (∃x) p(x,y) ; (∃y) (∃x) p(x,y)
Kita dapat mencari ingkarnya :
(∃x) (∀ y ) p(x,y) = ( ∀ x) ~ { (∀ y ) p(x,y) } = ( ∀ x) (∃x) ~ { p(x,y) }
Jika R(x,y) = “x percaya pada y” maka ekspresi dibawah ini berarti :
∀ x { ∃y R(x,y) } = Semua orang memiliki orang yang dipercaya.
∃y { ∀x R(x,y) } = Ada seseorang yang di percayai oleh semua orang termasuk dirinya sendiri.
∃x { ∀y R(x,y) } = Ada sseorang yang mempercayai semua orang.
∀y { ∃x R(x,y) } = Semua orang memiliki seseorang yang mempercayainya.
∀ x { ∀y R(x,y) } = Semua orang mempercayai semua orang termasuk dirinya sendiri.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar